వృత్త లేదా పైచిత్రాలు

•  ఒక వృత్తంలో కేంద్రం చుట్టూ ఏర్పడే కోణాల మొత్తం 360^o.
• ఒక వృత్తంలో రెండు వ్యాసార్ధాలతోను, వాటి మధ్య ఉన్న చాపరేఖతో ఆవరించిన ప్రాంతాన్ని సెక్టారు (త్రిజ్యాంతరం) అంటారు.
• సెక్టారు కోణాన్ని కేంద్రీయ కోణం అంటారు.
• దత్తాంశంలో ఇచ్చిన సరుకు విలువను 100% గా పరిగణిస్తారు.
• 100% = 360^oగా సూచిస్తారు.   కాబట్టి 10% = 36^o         1% = 3.6^o
• ఇచ్చిన మొత్తం సరుకును లేదా దత్తాంశాన్ని విభజించి పై లేదా వృత్తాకార చిత్రంలో సెక్టారులుగా చూపిస్తారు.

మోడల్ - 1

కింది పై చిత్రం ఒక ప్రదేశం వార్షిక వ్యవసాయ ఉత్పత్తిని తెలియజేస్తుంది. చిత్రాన్ని పరిశీలించి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి. గోధుమలు 100^o, పంచదార 80^o, బియ్యం 40^o, మిగిలింది 140^o

1. మొత్తం ఉత్పత్తి 8100 టన్నులైతే బియ్యం ఉత్పత్తి ఎంత?

2. పంచదార ఉత్పత్తి 2400 టన్నులైతే గోధుమ ఉత్పత్తి ఎంత?

3. గోధుమ ఉత్పత్తి, బియ్యం ఉత్పత్తి కంటే ఎంత శాతం అధికం?

సాధన:

a) గోధుమలు = 1000  కాబట్టి  

మొత్తం ఉత్పత్తి 810^o టన్నులు

కాబట్టి 360^o = 810^o
100^o = ?
100^o =  × 8100 = 2250  టన్నులు
b) చక్కెర =  80^o

=   × 100 =   = 22 %
మొత్తం ఉత్పత్తి = 8100 టన్నులు
360^o = 8100 టన్నులు
80^o = ?

c) బియ్యం= 400 కాబట్టి   × 100 = 11%

మొత్తం ఉత్పత్తి = 8100 టన్నులు
360^o = 8100  టన్నులు
40^o = ?

40^o =   × 8100 = 900 టన్నులు
d) మిగిలింది = 140^o
కాబట్టి   × 100 =  = 38 %
మొత్తం ఉత్పత్తి =  8100 టన్నులు
360^o = 8100 
140^o = ? 
∴ 140^o =   × 8100 = 3150 టన్నులు

1. జ) C నుంచి బియ్యం ఉత్పత్తి 900 టన్నులు
2. జ) పంచదార ఉత్పత్తి 2400 టన్నులైతే
         80% = 2400 టన్నులు
గోధుమ ఉత్పత్తి =    ×  2400 = 3000   టన్నులు
3. జ)  గోధుమలు = 100^o బియ్యం ఉత్పత్తి = 40^o
అధికం = 60^o
∴ 40^o మీద అధికం = 60^o 
∴ 100^o = ? =   × 60% = 150%

 

మోడల్ - 2

  ఒక బోర్డు పరీక్షలో 540 మార్కులు సాధించిన ఒక విద్యార్థి వివిధ సబ్జెక్టుల్లో సాధించిన వివరాలు ఈ చిత్రంలో ఉన్నాయి. చిత్రాన్ని పరిశీలించి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.

1. ఏ సబ్జెక్టులో విద్యార్థి 108 మార్కులు సాధించాడు?
2. ఏ పరీక్షలో 16  % మార్కులు సాధించాడు?
3. హిందీ, గణితం, మొత్తం మార్కులు, ఇంగ్లిష్, సైన్సు, సోషల్ మొత్తం మార్కులకు వ్యత్యాసం ఎంత?

సాధన:
a) 360^o = 100%  ఆంగ్లం = 63^o  కాబట్టి 63^o = ?
--> 63^o  =  =  =  17.5%
b) గణితం 90^o  కాబట్టి 90^o = ?
90^o =   × 100 = 25%
c) హిందీ 60^o  కాబట్టి 60^o = ?
60^o =  × 100 =   = 16 %
d) సైన్సు 75^o  కాబట్టి 75^o = ?
75^o =  × 100 = = 20 %
e) సోషల్ 72^o  కాబట్టి 72^o = ?
72^o =   × 100 = 20%
మొత్తం మార్కులు = 540

1. జ) సోషల్‌లో 108 మార్కులు సాధించాడు.
2. జ)  హిందీలో 16  % మార్కులు సాధించాడు.
3. జ)  హిందీ + గణితం = 90 +135 = 225 మార్కులు
ఇంగ్లిష్ + సైన్సు + సోషల్ = 94.5 + 112.5 + 108 = 315 మార్కులు
∴ వ్యత్యాసం = 315 - 225 = 90 మార్కులు.

 

మోడల్- 3

ఒక కుటుంబం ఆహారం, దుస్తులు, అద్దె, ఇతర ఖర్చులు, పొదుపులపై ఖర్చుపెట్టిన మొత్తాలను కింది వృత్తాకార చిత్రం సూచిస్తుంది. ఆహారం 108^o, అద్దె 72^o, దుస్తులు 72^o, ఇతర ఖర్చులు 72^o. అయితే పొదుపెంత?
ఆ కుటుంబం వార్షికాదాయం రూ.60,000/- అయితే వారి ఆహారం, అద్దె, దుస్తులు, ఇతర ఖర్చుల మొత్తమెంత? వాటి వివరాలను శాతాల్లో కూడా తెలపండి.

సాధన:
కుటుంబ సంవత్సర ఆదాయం = రూ. 60,000/-
a) ఆహారానికి 108^o
360^o = 60,000
108^o = ?
108^o =   × 60,000
= రూ.18,000
∴ ఆహారానికి అయ్యే ఖర్చు =  రూ.18,000/-
360^o = 100%  

   × 100 = 30%
108% = ?
∴ ఆహారానికి అయ్యే ఖర్చు  = 30%

b) అద్దెకు 720 

3600 = 60,000

72^o = ?
72^o =   × 60,000 = రూ.12,000
అద్దెకు అయ్యే ఖర్చు = రూ.12000
360^o = 100%  

   × 100 = 20%
72% = ?
∴ అద్దెకు అయ్యే ఖర్చు శాతం = 20%
c) దుస్తులకు 72^o కాబట్టి అయ్యే ఖర్చు రూ.12,000/- ఖర్చు శాతం 20%
d) ఇతర ఖర్చులకు 72^o కాబట్టి అయ్యే ఖర్చు రూ.12,000/- ఖర్చు శాతం 20%
e) పొదుపు = మొత్తం సొమ్ము - (ఆహారం + అద్దె + దుస్తులు + ఇతర ఖర్చుల మొత్తం) = రూ.60,000 - (18,000 + 12,000 + 12,000 + 12000) = రూ 6000/-
పొదుపు శాతం =  × 100 = 10%

 

మోడల్- 4

   కింది వృత్తాకార చిత్రాల్లో ఒక పారిశ్రామిక సంస్థ ఉద్యోగుల వివరాలు, ఆ సంస్థ సంవత్సరాంతర ఖర్చుల వివరాలు ఉన్నాయి. ఇచ్చిన చిత్రాలను పరిశీలించి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
మొత్తం ఖర్చు = రూ.12 కోట్లు మొత్తం ఉద్యోగులు = 1200 మంది.

1. అకౌంట్స్ విభాగం నుంచి అయ్యే ఖర్చు మొత్తం ఎంత?
2. మార్కెటింగ్ విభాగానికి చెందిన ఉద్యోగుల జీతం నిమిత్తం అయ్యే ఖర్చు మొత్తం ఎంత?
3. కంప్యూటర్ విభాగానికి చెందిన ఉద్యోగుల టెలిఫోన్ ఖర్చు ఎంత?
4. ఆరోగ్యం విభాగానికి చెందిన ఒక్కొక్క ఉద్యోగిపై అయ్యే ఖర్చు ఎంత?

1. జ) అకౌంట్స్ విభాగం నుంచి అయ్యే ఖర్చు
= రూ.12 కోట్లలో 14%
= రూ.14/100 × 12 కోట్లు = రూ. 1.68 కోట్లు

2. జ)  కంపెనీలో మొత్తం ఉద్యోగుల జీతం = రూ.12 కోట్లలో 30%
= రూ.  × 12,00,00,000 =  రూ. 3,60,00,000
కాబట్టి మార్కెటింగ్ ఉద్యోగుల జీతం నిమిత్తం అయ్యే ఖర్చు
= రూ.36,000000 ×   = రూ.61,20,000 

3. జ)  కంప్యూటర్ విభాగానికి చెందిన ఉద్యోగుల టెలిఫోన్ ఖర్చు
= రూ.  ×× 12 కోట్లు
= రూ.  ×× 120 మిలియన్‌లు
= రూ.1.152 మిలియన్‌లు
= రూ.11.52 లక్షలు
4 జ) ఆరోగ్య విభాగంపై అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = రూ. 12 కోట్లలో 13% 
=× 12 కోట్లు = రూ.1.56  కోట్లు = 15600000
ఒక్కొక్క ఉద్యోగిపై అయ్యే ఖర్చు = రూ.15600000/ 1200 = రూ.13000

 మోడల్-5

కింది సమాచారం చదివి, ఇచ్చిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
A,B,C,D,E,F అనే వివిధ కోర్సుల్లో విద్యార్థుల శాతం, వారిలో బాలికల శాతం కింది వృత్తాకార చిత్రంలో చూపించారు.
మొత్తం విద్యార్థులు = 1200 మంది (బాలికలు 800 మంది, బాలురు 400 మంది)

1. కోర్సు D లో చేరిన బాలుర, బాలికల నిష్పత్తి ఎంత?
2. ఏయే కోర్సుల్లో బాలుర సంఖ్య సమానం?
3. కోర్సు E లో బాలుర కంటే బాలికలు ఎంత శాతం అధికం?
4. ఏ కోర్సులో బాలుర సంఖ్య తక్కువ?
5. C కోర్సులోని బాలికల సంఖ్య?
సాధన:
1 జ) కోర్సు D లో బాలికల సంఖ్య = 800 లో 30%
= ×800=240
కోర్సు D లోని మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 1200లో
35% = × 1200 = 420
కాబట్టి బాలుర సంఖ్య = 420 - 240 = 180 మంది
... బాలుర, బాలికల నిష్పత్తి = 180 : 420 = 3 : 4
 జ) ఒకొక్క కోర్సులో బాలుర సంఖ్య
కోర్సు E లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 12% - 800 లో 14% = 144 - 112 = 32
కోర్సు F లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 13% - 800లో 14% = 156 - 112 = 44
కోర్సు A లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 20% - 800లో 30% = 240 - 240 =0
కోర్సు D లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 35% - 800 లో 30% = 420 - 240 = 180
కోర్సు C లో బాలుర సంఖ్య = 1200 లో 5% - 800 లో 2% = 60 - 16 = 44
C, Fలలో బాలుర సంఖ్య సమానం
3 జ)  కోర్సు E లో బాలికల సంఖ్య = 800 లో 14%
= × 800 = 112
కోర్సు E లో బాలుర సంఖ్య = 32
కావలసిన శాతం =  × 100 = 28.57%
4 జ) కోర్సు A
5 జ)  C కోర్సులోని బాలికల సంఖ్య = 800లో  2%
 × 800=16%

దత్తాంశాన్ని పట్టికలో పొందుపరచడం

             పబ్లిక్ సర్వీస్ కమిషన్లు నిర్వహించే వివిధ పోటీ పరీక్షల్లో జనరల్ స్టడీస్ మెంటల్ ఎబిలిటీ విభాగంలో 'దత్తాంశ విశ్లేషణ'లో భాగంగా 'దత్తాంశ పట్టికీకరణ' నుంచి ప్రశ్నలు వస్తాయి. ఈ విభాగంలోని ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయాలంటే... దత్తాంశాన్ని వర్గీకరించి పట్టిక రూపంలో పొందుపరచాలి. ఆయా ప్రశ్నలకు ఈ పట్టిక ద్వారా సమాధానాలు గుర్తించాల్సి ఉంటుంది. సమస్యను విశ్లేషించడం, పట్టిక పొందుపరచడం, సమస్యలోని సంబంధాలను అవగాహన చేసుకోవడం ద్వారా అభ్యర్థి ఆలోచనా సామర్థాన్ని అంచనా వేయడం ఈ ప్రశ్నల లక్ష్యం.

            దత్తాంశాన్ని వర్గీకరించిన తర్వాత విశ్లేషణ శాశ్వతంగా ఉండేలా నిలువు, అడ్డ గళ్లల్లో క్రమ పద్ధతిలో చూపడాన్ని పట్టికీకరణ అంటారు. పరిశీలనలో ఉన్న సమస్యకు సంబంధించిన ప్రశ్నలకు సులభంగా అర్థమయ్యేలా జవాబులు ఇవ్వడం పట్టికీకరణ ముఖ్య విధిగా చెప్పవచ్చు. ఇందులో భాగంగా ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పరస్పర సంబంధమున్న ప్రశ్నల సమూహానికి అభ్యర్థి సమాధానాలు ఇవ్వాల్సి ఉంటుంది. కాబట్టి అభ్యర్థికి నిష్పత్తి - అనుపాతం, లాభ నష్టాల శాతాలు లాంటి గణితాంశాలపై ప్రాథమిక పరిజ్ఞానం ఉండాలి. కింది మాదిరి ప్రశ్నలు అభ్యర్థుల అవగాహనకు ఉపకరిస్తాయి.

1. కింది పట్టికను జాగ్రత్తగా పరిశీలించి, ఇచ్చిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

i) 2009లో అన్ని పాఠశాలల నుంచి ఉత్తీర్ణులైన సగటు విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?
ii) అన్ని సంవత్సరాల్లో పాఠశాల A, పాఠశాల B లో పాసైన విద్యార్థుల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
iii) 2011 లో అన్ని పాఠశాలల నుంచి పాసైన సగటు విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?
iv) 2010 లో అన్ని పాఠశాలల నుంచి పాసైన విద్యార్థుల సంఖ్యలో 2011 లో పాసైన విద్యార్థుల శాతమెంత?
v) అన్ని సంవత్సరాల్లో పాఠశాల C, పాఠశాల D లలో పాసైన విద్యార్థుల సగటుల మధ్య భేదమెంత?

సాధన - వివరణ

ii) ఇచ్చిన అన్ని సంవత్సరాల్లో
పాఠశాల Aలో పాసైన మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 50 + 55 + 40 = 145
పాఠశాల Bలో పాసైన మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 40 + 70 + 85 = 195
                              కావల్సిన నిష్పత్తి = 145 : 195
                                                     = 29 : 39

iii) 2011లో అన్ని పాఠశాలల నుంచి పాసైన సగటు విద్యార్థుల సంఖ్య

        
iv) 2010లో పాసైన మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య =  55 + 70 + 75 + 50 + 35
                                                                     = 285
2011లో పాసైన మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 40 + 85 + 60 + 30 + 45
                                             = 260 

                             = 91%

i) ఇచ్చిన అన్ని సంవత్సరాల్లో ఆర్ట్స్ నుంచి పాసైన విద్యార్థుల సగటు ఎంత?
ii) 2004లో సైన్స్ నుంచి పాసైన విద్యార్థులు హాజరైన వారిలో ఎంత శాతం?
iii) 2003లో అన్ని విభాగాల నుంచి పాసైన విద్యార్థుల సగటు ఎంత?
iv) 2002లో సైన్సులో పాసైన, ఆర్ట్స్ నుంచి హాజరైన విద్యార్థుల మధ్య గల నిష్పత్తి ఎంత?
v) 2001లో కామర్స్‌లో పాసైన, 2002లో కామర్స్ నుంచి హాజరైన విద్యార్థుల మధ్య గల నిష్పత్తి ఎంత?

సమాధానాలు - వివరణ

iv) 2002లో సైన్సులో పాసైన విద్యార్థుల సంఖ్య = 250
              ఆర్ట్స్ నుంచి హాజరైన విద్యార్థుల సంఖ్య = 280
                                          కావాల్సిన నిష్పత్తి = 250 : 280
                                                        = 25 : 28
v)  2001లో కామర్స్ లో పాసైన విద్యార్థుల సంఖ్య = 305
2002లో కామర్స్ నుంచి హాజరైన విద్యార్థుల సంఖ్య = 405
                                               కావాల్సిన నిష్పత్తి = 305 : 405
                                                    = 61 : 81

3. ఒక కళాశాలలోని పురుష, మహిళా విద్యార్థుల ప్రతిభను ఒక కంప్యూటర్ డిస్కులో భద్రపరిచారు. కానీ వైరస్ వల్ల కింద ఇచ్చిన సమాచారం మినహా మిగిలింది పోయింది. సమాచారాన్ని పరిశీలించి ఇచ్చిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి.

అయితే నిపుణుల కమిటీ వారి సామర్థ్యాన్ని కింది విధంగా నిర్ధారించింది.
a) పురుష విద్యార్థుల్లో   వంతు మంది Average అనీ
b) 40% విద్యార్థులు మహిళా విద్యార్థులు
c) మొత్తం విద్యార్థుల్లో సగం మంది Excellent అయితే

1) పురుష విద్యార్థుల్లో వారి ప్రతిభలో Good చూపినవారు ఎందరు?
2) మహిళా విద్యార్థుల్లో వారి ప్రతిభలో Good చూపినవారు ఎందరు?
3) మహిళా విద్యార్థుల్లో వారి ప్రతిభలో Excellent కనబరిచినవారు ఎందరు?
4) మహిళా Excellent విద్యార్థులకు, మొత్తం Excellent విద్యార్థులకు గల నిష్పత్తి ఎంత?
 

సమాధానాలు - వివరణ
 

ఇచ్చిన సమాచారం 'b' నుంచి
మొత్తం విద్యార్థుల్లో 40% మంది మహిళా విద్యార్థులు = 96
  మొత్తం విద్యార్థులు =   × 100 = 240
  మొత్తం పురుష విద్యార్థులు = 240 - 96 = 144
సమాచారం 'a' నుంచి పురుష విద్యార్థుల్లో   వంతు మంది Average ప్రతిభ కనబరిచారు.
  Average ప్రతిభ కనబరిచిన పురుష విద్యార్థులు =   × 144 = 48
సమాచారం 'c' నుంచి మొత్తం విద్యార్థుల్లో సగం మంది Excellent ప్రతిభ కనబరిస్తే
Excellent ప్రతిభ కనబరిచిన విద్యార్థులు =    × 240 = 120
Excellent ప్రతిభ కనబరిచిన మహిళా విద్యార్థులు = 120 - 50 = 70
పై సమాచారాన్ని పట్టికలో పొందుపరిస్తే

1) పై పట్టిక నుంచి పురుష విద్యార్థుల్లో Good ప్రతిభ చూపించినవారు = 46 మంది
2) మహిళా విద్యార్థుల్లో Good ప్రతిభ చూపించినవారు = 8 మంది
3) మహిళా విద్యార్థుల్లో Excellent ప్రతిభ కనబరిచినవారు = 70
4) Excellent ప్రతిభ కనబరిచిన విద్యార్థులు = 120
     Excellent ప్రతిభ కనబరిచిన మహిళా విద్యార్థులు = 70
     కావాల్సిన నిష్పత్తి = 70 : 120 = 7 : 12